맥스웰-볼츠만 분포

3. 맥스웰-볼츠만 분포의 물리적 응용

맥스웰-볼츠만 분포는 기체의 압력, 확산과 같은 기본적인 성질을 설명하는 기체 운동론의 기초를 형성한다.^[7] 이 분포는 기체에서 분자 속도의 분포뿐만 아니라 속도, 운동량, 분자 운동량의 크기 등 서로 다른 확률 분포 함수를 나타낸다.

맥스웰-볼츠만 분포는 통계 역학을 사용하여 유도할 수 있으며, 상호 작용이 없는 입자들로 구성된 계에서 양자 효과가 무시될 때 모든 속도 분포 가능성에 대응한다. 기체 상태에서 분자 간의 내부 반응은 일반적으로 매우 작기 때문에, 맥스웰-볼츠만 분포는 기체 상태의 조건에서 매우 좋은 접근 방법을 제공한다.

그러나 이온층과 공간 플라스마 물리학과 같이 탄성 충돌 조건 등이 적용되지 않는 경우나, 기체의 양자적 열 파장이 입자 간 거리에 비해 충분히 작지 않을 때는 적용이 어렵다. 또한, 이 이론은 비상대론적 가정에 기초하고 있어 광속을 넘어서는 분자 속도들이 존재하지 않음을 보여주지 못한다.

맥스웰의 최초 계산은 세 방향이 같은 방식으로 행동한다고 가정했지만, 볼츠만은 운동 이론을 사용하여 가정을 완화했다. 맥스웰-볼츠만 분포는 에너지에 대한 볼츠만 분포로부터 유도될 수 있다.^[13]

:$$

\frac{N_i}{N} = \frac{g_i \exp\left(-E_i/kT \right) } { \sum_{j}^{} g_j \,{\exp\left(-E_j/kT\right)} }

\qquad\qquad (1)

여기서 ''N''_''i''은 에너지''E''_''i''를 가지는 상태''i''에서 겹침 ''g_i''를 가지고 평형온도 ''T''를 가지는 분자들의 수이며, ''N''는 계 안에서 가지는 총 분자들의 수가 된다. 그리고 ''k''는 볼츠만 상수가 된다.

다윈-파울러 방법을 사용하면 맥스웰-볼츠만 분포를 정확한 결과로 얻을 수 있다.

3. 1. 운동량 벡터의 분포

• $Z$는 식 (1)의 분모에 해당하는 분배 함수이다.
• $m$은 기체의 분자 질량이다.
• $T$는 열역학적 온도이다.
• $k\_\backslash text\{B\}$는 볼츠만 상수이다.

3. 2. 에너지의 분포

3. 3. 속도 벡터 분포

3. 4. 속력 분포

3. 5. 전체 속력

4. 2차원 맥스웰-볼츠만 분포

평면에 갇혀 움직이는 입자의 경우, 속도 분포는 다음과 같다.

:

이 분포는 평형 상태에 있는 시스템을 설명하는 데 사용된다. 그러나 대부분의 시스템은 평형 상태에서 시작하지 않는다. 시스템이 평형 상태로 진화하는 것은 볼츠만 방정식에 의해 결정된다. 이 방정식은 단거리 상호 작용의 경우 평형 속도 분포가 맥스웰-볼츠만 분포를 따른다고 예측한다. 900개의 하드 스피어 입자가 직사각형 내에서 움직이도록 제한된 분자 역학(MD) 시뮬레이션에서, 입자들은 완전 탄성 충돌을 통해 상호 작용한다. 시스템은 비평형 상태로 초기화되지만, 속도 분포(파란색)는 2D 맥스웰-볼츠만 분포(주황색)로 빠르게 수렴한다.

5. n차원 공간에서의 맥스웰-볼츠만 분포

n^영어차원 공간에서 맥스웰-볼츠만 분포는 다음과 같이 주어진다.^[7]

:$$f(\backslash mathbf\{v\})\; ~\; d^n\backslash mathbf\{v\}\; =\; \backslash biggl[\backslash frac\{m\}\{2\; \backslash pi\; k\_\backslash text\{B\}T\}\backslash biggr]^\{n/2\}\; \backslash exp\backslash left(-\backslash frac\{m|\backslash mathbf\{v\}|^2\}\{2k\_\backslash text\{B\}T\}\backslash right)\; ~d^n\backslash mathbf\{v\}$$

여기서 $n$은 차원의 수, $m$은 입자의 질량, $k\_\backslash text\{B\}$는 볼츠만 상수, $T$는 열역학적 온도이다.

속도 분포는 다음과 같이 표현된다.^[7]

:$$f(v)\; ~\; dv\; =\; A\; \backslash exp\backslash left(-\backslash frac\{mv^2\}\{2k\_\backslash text\{B\}\; T\}\backslash right)\; v^\{n-1\}\; ~\; dv$$

여기서 $A$는 정규화 상수이다.

다음 적분 결과가 유용하다.^[7]

:$$\backslash begin\{align\}$$

\int_{0}^{\infty} v^a \exp\left(-\frac{mv^2}{2k_\text{B} T}\right) dv

&= \left[\frac{2k_\text{B} T}{m}\right]^\frac{a+1}{2} \frac{\Gamma{\left(\frac{a+1}{2}\right)}}{2}

\end{align}

여기서 $\backslash Gamma(z)$는 감마 함수이다.

이 결과를 이용하여 속도 분포 함수의 모멘트를 계산할 수 있다.^[7] 평균 속도는 다음과 같다.

:$$\backslash langle\; v\; \backslash rangle$$

= \sqrt{\frac{2k_\text{B} T}{m}} \frac{\Gamma{\left(\frac{n+1}{2}\right)}}{\Gamma{\left(\frac{n}{2}\right)}}

제곱근 평균 제곱 속도는 다음과 같다.

:$$\backslash langle\; v^2\; \backslash rangle\; =\; \backslash frac\{n\; k\_\backslash text\{B\}T\}\{m\}$$

속도 분포 함수의 미분은 다음과 같다.^[7]

:$$\backslash frac\{df(v)\}\{dv\}\; =\; A\; \backslash exp\backslash left(-\backslash frac\{mv^2\}\{2k\_\backslash text\{B\}T\}\backslash right)\; \backslash biggl[-\backslash frac\{mv\}\{k\_\backslash text\{B\}T\}\; v^\{n-1\}+(n-1)v^\{n-2\}\backslash biggr]\; =\; 0$$

이를 통해 가장 가능성이 높은 속도(최빈값)는 다음과 같다.

:$v\_\backslash text\{p\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash left(n-1\backslash right)\; k\_\backslash text\{B\}T/m\}$

6. 한계

맥스웰-볼츠만 분포는 개별 입자의 속도가 빛의 속도보다 훨씬 작다고 가정한다. 즉, $T\; \backslash ll\; \backslash frac\{m\; c^2\}\{k\_\backslash text\{B\}\}$이다. 전자의 경우, 전자의 온도는 $T\_e\; \backslash ll\; 5.93\; \backslash times\; 10^9~\backslash mathrm\{K\}$이어야 한다.

7. 역사적 배경

제임스 클러크 맥스웰은 1860년에 기체 운동론의 분자 충돌과 속도 분포 함수의 특정 대칭성을 기반으로 하여 이 분포를 처음으로 유도하였다.^[5][6][11] 맥스웰은 또한 분자 충돌이 평형 상태로 향하는 경향을 보인다는 초기 주장을 제시했다. 루트비히 볼츠만은 1872년에^[12] 기계적 근거를 바탕으로 이 분포를 다시 유도했으며, 기체는 충돌로 인해 시간이 지남에 따라 이 분포에 가까워진다고 주장했다(H-정리 참조). 그는 나중에(1877년)^[13] 통계 열역학의 틀 내에서 이 분포를 다시 유도했다.

8. 관련 개념

• 볼츠만 상수
• 레일리 분포
• 이상 기체
• 제임스 클러크 맥스웰
• 동역학
• 자외선 파탄
• generalized gamma distribution|일반화 감마 분포^영어

참조

_[1] 서적 Statistical Physics John Wiley & Sons 2008
_[2] 서적 Sears and Zemansky's University Physics: With Modern Physics Pearson, Addison-Wesley 2008
_[3] 서적 Encyclopaedia of Physics VHC publishers 1991
_[4] 서적 Principles of Plasma Physics San Francisco Press, Inc. 1986
_[5] 간행물 Illustrations of the dynamical theory of gases. Part I. On the motions and collisions of perfectly elastic spheres. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science https://www.biodiver[...] 1860
_[6] 간행물 Illustrations of the dynamical theory of gases. Part II. On the process of diffusion of two or more kinds of moving particles among one another. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science https://www.biodiver[...] 1860
_[7] 서적 Basics of Statistical Physics https://www.worldcat[...] World Scientific 2013
_[8] 서적 College Physics, Volume 1 https://books.google[...] Cengage Learning
_[9] 문서
_[10] 문서
_[11] 학술지 Maxwell and the normal distribution: A colored story of probability, independence, and tendency towards equilibrium
_[12] 문서 Weitere studien über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekülen. 1872
_[13] 문서 Über die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatz der mechanischen Wärmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung respektive den Sätzen über das Wärmegleichgewicht. 1877
_[14] 서적 McGraw-Hill Encyclopedia of Physics McGraw-Hill 1993
_[15] 서적 Statistical Thermodynamics: Fundamentals and Applications https://books.google[...] Cambridge University Press
_[16] 문서 『化学・生命科学系のための物理化学』
_[17] 문서 『学術用語集』
_[18] 문서 『アトキンス物理化学』
_[19] 문서 『アトキンス物理化学』
_[20] 문서 『アトキンス物理化学』
_[21] 문서 『化学・生命科学系のための物理化学』
_[22] 문서 『化学・生命科学系のための物理化学』
_[23] 문서 『理工系学生のための化学基礎』
_[24] 문서 『理工系学生のための化学基礎』